正弦定理・余弦定理への入り口 ― 直角がなくても使える

世の中の三角形に、つねに直角があるとは限りませんよね。最後の回では、 直角ナシでもOKな2つの定理を紹介します。むずかしい証明は教科書にまかせて、 ここでは「何ができて、いつ使うか」だけ押さえましょう。それで実戦は戦えます。

記号の約束って、どう決めるの?

定理の式を読む前に、辺と角の名前のルールだけ先に決めます。これがゴチャつくと公式がただの記号の羅列に見えてしまうので、ここだけは丁寧にいきましょう。

三角形 $ABC$ で、頂点 $A,\ B,\ C$ の向かいにある辺を、それぞれ $a,\ b,\ c$ とします。「角 $A$ の真向かいが辺 $a$」という、大文字と小文字がペアになる素直な対応です。

このペアさえ頭に入れば、これから出てくる式は「自分と向かいの相手をセットにしているだけ」と読めるようになります。

正弦定理とは？辺と「向かいの角」をセットで考える

正弦定理は、辺とその向かいの角の sin の比が、どの組でも等しいという話です。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

「辺 $a$ と角 $A$」「辺 $b$ と角 $B$」「辺 $c$ と角 $C$」――この向かい合うペアで割り算すると、どこも同じ値になる、というのが言いたいことです。

$R$ は外接円（3つの頂点を通る円）の半径。…が、$2R$ は今は気にしなくてOK。 大事なのは「辺 ÷ 向かいの角のsin がどこも同じ」というところです。

いつ使う?

• 「1辺とその向かいの角」がわかっていて、別の辺や角を出したいとき。
• 「2つの角と1辺」から残りを出したいとき。

たとえば $A = 30^\circ$、$a = 5$、$B = 45^\circ$ のとき、辺 $b$ は

$$\frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{5\,\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$$

比の式を立てて解くだけ。「辺と向かいの角がペアで見えたら正弦定理」と覚えましょう。

余弦定理とは？ピタゴラスの定理の進化版

余弦定理は、2辺とそのあいだの角から、残りの1辺を出します。角 $A$ をはさむ2辺が $b,\ c$、求めたいのが向かいの辺 $a$ です。

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

よく見るとこれ、ピタゴラスの定理にオマケ（補正項）がくっついた形なんです。 もし $A = 90^\circ$ なら $\cos 90^\circ = 0$ なので最後の項が消えて、

$$a^2 = b^2 + c^2$$

という見慣れた式に戻ります。つまり余弦定理は、直角に限らないピタゴラスの定理。 「ピタゴラスの上位互換」とイメージすると親しみがわきます。

いつ使う?

• 「2辺とそのあいだの角」から残りの辺を出したいとき。
• 「3辺」がわかっていて角を出したいとき（式を $\cos A$ について解く）。

どっちを使うか、どう見分ける？

迷ったら、いま何がわかっているかで選びます。

わかっている情報	使う定理
1辺と向かいの角＋もう1組	正弦定理
2辺とそのあいだの角	余弦定理
3辺すべて	余弦定理

これで「三角比入門」シリーズは完結です。直角三角形の3つの比から始めて、 どんな三角形でも辺と角を行き来できるところまで来ました。お疲れさまでした。 あとは問題を解いて、手を動かして定着させましょう。0→1は、もうクリアです。