sin・cos・tan の定義 ― 3つの比で角を表す

前回は直角三角形の 斜辺・対辺・隣辺 を見分けられるようになりました。 いよいよ本題、sin・cos・tan です。とはいえ身構えなくて大丈夫。 全部ただの割り算です。

sin・cos・tan ってどう決めるの?

角 $\theta$ に対して、3つの比をこう決めます。

$$\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$$

読み方は「サイン」「コサイン」「タンジェント」。定義はこれだけです。 あとは「どの辺を上、どの辺を下に置くか」を覚えるだけ。

分子と分母、どっちがどっち? 筆記体でなぞる

分子と分母を取り違えやすいので、筆記体の書き始めをなぞる有名なやつを使います。

• sin は s の字 → 「斜辺ぶんの対辺」
• cos は c の字 → 「斜辺ぶんの隣辺」
• tan は t の字 → 「隣辺ぶんの対辺」

文字をなぞる向きが、そのまま「分母→分子」の順になっています。地味に便利です。

スライダーで動かすと一発で腑に落ちる

理屈より、動かしたほうが早いです。下のスライダーで角 $\theta$ を変えると、 三角形と $\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta$ の値が同時に動きます。 いじり倒してください。

角 θ = 35°

sin θ

0.574

cos θ

0.819

tan θ

0.700

動かすと、たぶんこう感じるはずです。

• $\theta$ を大きくすると、対辺がのびて $\sin\theta$ は どんどん大きく なる。
• 逆に隣辺は縮むので $\cos\theta$ は 小さく なる。
• $\sin\theta$ と $\cos\theta$ は、いつも $0$ と $1$ のあいだ（斜辺がいちばん長いから、はみ出ない）。

「sinは縦のノリ、cosは横のノリ」くらいのザル理解でも、今はじゅうぶんです。

30°・45°・60° の値はどうなる?（ここは覚える）

よく出る $30^\circ,\ 45^\circ,\ 60^\circ$ は、値を覚えておくと計算がめちゃ速くなります。

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$30^\circ$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$45^\circ$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$1$
$60^\circ$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

丸暗記がイヤなら、正三角形を半分にした三角形と直角二等辺三角形を描けば、 辺の比からいつでも復元できます。「忘れたら描く」で十分戦えます。

実際にどう使う? 辺の長さを求めてみる

斜辺が $10$、角が $30^\circ$ の直角三角形で、対辺 $x$ を求めましょう。

対辺と斜辺の比は $\sin$ なので、

$$\sin 30^\circ = \frac{x}{10}$$

$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ だから、

$$\frac{1}{2} = \frac{x}{10} \quad\Longrightarrow\quad x = 5$$

はい、出ました。角と1辺さえあれば、残りの辺が計算で出る。これが三角比のうまみです。

前回チラ見せした「木の高さ」も、まったく同じ要領です。根元から $15\text{m}$ 離れて見上げた角が $30^\circ$ なら、$\tan 30^\circ = \dfrac{\text{高さ}}{15}$ なので、高さ $= 15\tan 30^\circ = \dfrac{15}{\sqrt{3}} \approx 8.7\text{m}$。ハシゴいらずで求まりました。

次回は、この3つの比のあいだに隠れた便利すぎる関係式を見つけます。 「1個わかれば全部わかる」やつです。