自由落下・鉛直投げ上げの解き方

自由落下って結局どんな運動？

自由落下は、物を「そっと手放して」落とす運動のこと（初速0で落ちる）。空気の抵抗は無視して考える。

ここで大事な事実が一つ。重い物も軽い物も、落ちる速さの増え方は同じ。1円玉も鉄球も、空気抵抗がなければまったく同じように落ちる。これはガリレオが見抜いた有名な話だ。

なぜそうなるかというと、落下しているとき物には重力がはたらき、それによって生じる加速度が物の重さによらず一定だから。この加速度を重力加速度といい、記号 $g$ で表す。

$g \approx 9.8 \ \text{m/s}^2$

つまり自由落下は「初速0・加速度 $g$ の等加速度直線運動」にすぎない。新しいことは何もなく、前に学んだ公式がそのまま使える。

公式は覚え直さなくていい？

そう、覚え直し不要。等加速度の3公式で、加速度 $a$ を重力加速度 $g$ にするだけ。下向きを＋、初速0とすると、

$v = gt$

$y = \dfrac{1}{2}gt^2$

$v^2 = 2gy$

ここで $y$ は落ちた距離、$v$ は $t$ 秒後の速さ。元の公式（$v = v_0 + at$ など）で $v_0 = 0$、$a = g$ とすれば、そのままこの形になる。

たとえば手を離してから2秒後の速さは、

$v = gt = 9.8 \times 2 = 19.6 \ \text{m/s}$

落ちた距離は、

$y = \dfrac{1}{2}gt^2 = \dfrac{1}{2} \times 9.8 \times 2^2 = 19.6 \ \text{m}$

公式が同じなので、自由落下が解ければ等加速度運動も解けるし、逆もまた然り。

投げ上げは何が変わる？

鉛直投げ上げは、物を真上にポンと投げる運動。自由落下との違いは初速がある（上向き）こと。でも本質は同じで、やっぱり等加速度直線運動だ。

ここがキモなのだけど、投げ上げでも、上がってる最中も下がってる最中も、加速度はずっと下向きの $g$ で一定。「上がるときはどうなってるの？」と迷うけど、重力は常に下向きにはたらいているので、加速度は最初から最後まで変わらない。

上向きを＋に決めると、初速は＋（上向き）、重力加速度は下向きなので＝マイナス。だから式は次のようになる。

$v = v_0 - gt$

$y = v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2$

$v^2 - v_0^2 = -2gy$

$g$ の前にマイナスが付いただけ。符号は「上向きを＋にしたから、下向きの重力はマイナス」と決めた結果で、難しい話ではない。

最高点ではどうなってる？

投げ上げで一番のポイントは最高点。ここで物は一瞬止まる。つまり最高点では速度が0。

「速度が0なら加速度も0？」と思いがちだけど違う。速度は0でも、加速度は下向きの $g$ のまま。だから次の瞬間にはちゃんと落ち始める。速度が0なのは「上向きの動きが止まった一瞬」というだけで、重力は休まずはたらき続けている。ここは引っかけポイントなので要注意。

最高点までの時間は $v = v_0 - gt = 0$ から、

$t = \dfrac{v_0}{g}$

最高点の高さは $v^2 - v_0^2 = -2gy$ で $v = 0$ として、

$y = \dfrac{v_0^2}{2g}$

符号で迷わないコツは？

落下・投げ上げの計算でつまずく原因は、ほぼ符号。コツはたった一つ、最初に「上向き・下向きのどちらを＋にするか」を決めて、最後まで貫くこと。

• 自由落下だけなら、下向きを＋にすると $g$ がプラスのままで楽。
• 投げ上げなら、上向きを＋にすると初速がプラスで考えやすい（このとき $g$ はマイナス）。

決めた向きと逆を向く量にはマイナスを付ける。これだけ守れば、上がって落ちてくる運動も一つの式で通して計算できる。

例題で確かめよう

初速 19.6 m/s で真上に投げ上げた。最高点に達するまでの時間と、最高点の高さを求めよ。$g = 9.8 \ \text{m/s}^2$ とする。

上向きを＋、$v_0 = 19.6$、$g = 9.8$ とする。

最高点までの時間は、最高点で速度0だから、

$t = \dfrac{v_0}{g} = \dfrac{19.6}{9.8} = 2 \ \text{秒}$

最高点の高さは、

$y = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{19.6^2}{2 \times 9.8} = \dfrac{384.16}{19.6} = 19.6 \ \text{m}$

ちなみに、最高点から地面に戻ってくるまでにも同じ2秒かかる（上りと下りは対称）。だから投げてから戻るまで合計4秒。この「上りと下りの対称性」を知っておくと、検算や時短に効く。